▲回回历法一
《回回历法》，西域默狄纳国王马哈麻所作。其地北极高二十四度半，经度偏西一百零七度，约在云南之西八千馀昊。其历元用隋开皇己未，即其建国之年也。洪武初，得其书於元都。十五年秋，太祖谓西域推测天象最精，其五星纬度又中国所无。命翰林李翀、吴伯宗同回回大师马沙亦黑等译其书。其法不用闰月，以三百六十五日为一岁。岁十二宫，宫有闰日，凡百二十八年而宫闰三十一日。以三百五十四日为一周，周一十十月有闰日。凡有闰闰凡百二十八年而而宫闰三十一日，以三百五十四日为一周，周十二月，月有闰日。凡三十年月闰十一日，历千九百四十一年，宫月日辰再会。此其立法之大概也。
按西域历术见於史者，在唐有《九执历》，元有札马鲁丁之《万年历》。《九执因》最疏，《万年历》行之未久。唯《回回历》设科，隶钦天监，与《大统》参用二百七十馀年。虽於交食之有无深浅，时有出入，然胜於《九执》、《万年》远矣。但其书多脱误。盗盖其人之隶籍台官者，类以土盘布算，仍用其本国之书。而明之习其术者，如唐顺之、陈壤、袁黄辈之所论著又自成一家言。以故 翻译之本不行於世，其残缺宜也。今为博访专门之裔，考究其原书，以补其脱落，正其讹舛，为《回回历尖》，著於篇。
积年 起西域阿喇必年，下至洪武甲子，七百八十六年。
用数 天周度三百六十。宫十二。目周分一千四百四十，时二十四，刻九十六。宫度起白羊，节气首春分，命时起午正。
七曜数 日一，月二，火三，水四，木五，金六，土七。
宫数 白羊初，金牛一，阴阳二，世蟹三，狮子四，变女五，天秤六，天蝎七，人马八，磨羯九，实宝瓶十，变鱼十一。
宫日 白羊戌宫三十一日。金牛酉宫三十一日。阴阳申宫三十一日。巨蟹未宫三十二日。狮子午宫三十一日。娈女巳宫三十一日。天秤辰宫三十一日。天蝎卯宫三十日。人马寅宫二十九日。磨羯丑宫二十九日。宝瓶子宫三十日。变鱼亥宫三十日。
月分大小 单月大，变月小。
太阳五星最高行度太阳二宫二十九度二十一分。 土星八宫十四度四十八分。木星六宫初度八分。火星四宫十五度四分。金星二宫十七度六分。水星七宫六度十七分。
求宫分闰日置西域岁前积年，减一，以一百五十九乘之，内加一十五，以一百二十八屡减之，馀不满之数，若在九十七已上，其年宫分有闰日，已下无闰日。於除得之数内加五，满七去之，馀即所求年白羊宫一日七曜。
求月分闰日 置西域岁前积年，减一，以一百三十一年乘之，内加一百九十四，以三十为法屡减之，馀在十九已上，其年月分有闰闰已下则无。於除得之数，满七去之，馀即所求年第一月一日七曜。
加次法 置积日，减月闰内加三百三十一日，以三百五十四除之，馀数内减去所加三百三十一，又减二十三，又减二十四，又减一，为实距年得数。又法：以气积内减月闰，以三百五十四除之，馀减洪武加次二十四，又减补日二十三，又减改应损日一，得数如前。
▲太阳行度
求最高总度 置西域岁前积年，入总年零年月分日期立成内，各取前年前月前日最高行度并之。
求最高行度 置求到最高总度，加测定太阳最高行度，即年求年白羊宫最高行度。如求次宫，累加五秒零六微。求次月，加四秒五十六微。
求中心行度置积年入总年零年月日立成内，各取日中心行度并之，内减一分四秒，即所求白羊宫第一日中心行度。求各宫月日，按每日行度累加之。
求自行度 置其日中心行度，减其宫最高行度，即得。
求加减差。以自行宫度为引数，入太阳加减立成内，照引数宫度取加减差。其度下小馀，用比例法，以本加减差，与后度加减差相减，馀数通为秒，与引数小馀相乘，得数为纤，以六十收之，为微、为秒、为分。视前所得未定加减差数较，少於后数者加之，多於后数者减之，是为加减定差分。
求经度黄道度。 置其日中心行度，以加减定差分加减之，即得。
求七曜 置积年入立成内，取总年零年月日下七曜数并之，累去七数，馀即所求白羊宫一日七曜。如求次宫者，内加各宫七曜数。如求逐日，累加一数，满七去之。
▲太阴行度
求中心行度 置积年入立成内，取总零年月日下中心行度并之，得数，内减一十四分，即所求年白羊宫一日中心行度。如求逐日，累加日行度。
求加倍相离度置积年入立成内，取总年零年月日下加倍相离度并之，内减二十六分，即所求白羊宫一日度也。如逐日，累加倍离日行度。
求本轮行度置积年入立成内，取总零年月日下本轮行度并之，内减一四分，即所求白羊宫一日度也。如求各日，累加本轮日行度。
求第一加减差以加倍相离宫度为引数，入太阴第一加减立成内，取加减差。又与下差相减，余乘引数小余，得数为秒，以六十收之为分，用加减未定差，得第一分差。
求本轮行度 置其日本轮行度，以第一差分加减之。
求第二加减差 以本轮行定度度为引数，入太阴第二加减立成内，取未定差，依比例法，求得零数加减之为第二加减差分。
求比数分 以们离宫度，入第一加减立成内，取比数分。如们离零分在三十分已上者，取下度比敷分。
求远近度 以本轮行定宫度为引敷，入阴第二加减立成内，取远近度分。其引数零分，亦依比例法取之。
求凡差定差 置比敷分，以远近度通分乘之，以六十约之为分，即凡差。以凡差加入第二加减差，即为定差。
求经度 置其日太阴中心行度，以定差加减之，即太阴经度。
▲太阴纬度
求计都与月相离度置其日太限经度，内减其日计都行度，即计都与月相离度分。
求纬 以计都与月相离宫度为引数，入太阴纬度立成，取其度分，依比例法求得零分加减之，得纬度分。
求计罗行度 置积年入总年零年月日立成内，取罗计中心行度并之，为其年白羊宫一日行度。求各宫一日，以各宫日行度加之，与十二宫相减，馀即所求宫一日计都行度。如求计都逐日细行，以前后二段行度相减，馀以相距日数除之，为日差。又置前段计都行度，以日差累减之。如求罗喉行度，置其日计都行度内。
▲五星经度
求最高总度 数同太阳，依前太阳术求之。
求最高行度 置所求本星最高总度，加测定本星最高行度，为其年白羊 最高行度。求扣宫各日，加各宫日行度。
求日中心行度 依太阳术求之。
求自行度 置积年入立成总零年月日下，各取自行度并之，得其年白羊宫一日自行度。土、木、金三星减一分，水星减三分，火星不减。如求各宫各日，照本星自行度累加之。水星如自行度遇三宫初度，作五日一段算，至九宫初度，作十日一段算纬度亦然。
求中心行度中轮心度土、木、火三星，置太阳中心行度，减其星自行度，为三星中心行度。内又减最高行度，为三星小轮心度。金、水二星，其中心行度即太阳中心行度，内减其星最高行度，馀为其星小轮心度。
求第一加减差以其星小轮心宫度为引数，入本星第一加减立成，依比例法求之。
求自行定度及小轮心定度 视第一加减差引数，在初宫至五宫，用加减差，加自行度，减小轮心度，各为定度。在六宫至一宫，用加减差，减自行度，加小轮心度，各为定度。
求第二加减差 以其星自行定度，入本第二加减立成内，取其度分，用比例法加减之。同前。
求比敷分 如土、木、金、水星，以本星小轮心一宫度，入第一加减立成内，取比敷分，如引数小馀在三十分已上，取手行经敷分。如火星，则必用比例法求之。
求远近度 以自行定宫度，入第二加减立成内，取远近度，依比例法求之。
求凡差定差 法同太阴。
求经度 置小轮心定度，以定差加减之，内加其星最高行度。
求留段 以其段小轮心，定宫谍为引数，入五星顺退留立成内，於同宫近度，取本星度分，与前后行查减。又以引数宫度，减立成内同宫近度，两减，馀通分相乘，用六度除之，六十分收之，顺加逆减於前取度分，得数与其日自行定度同者，即本日留。如自行定度多者已过留日，少者未到留日。欲得细率，以所得数与其人日自行定度相减，馀以各星一日自行度约之，即得留日在本日前后数也。
求细行分 土、木、金、火四星，以前后两段经度相减，以相距除之为日行分。水星以白羊宫初日经度，又与前一日经度相减，馀为初日行分。又置前后二段经度相减，馀以相距日除之，为平行分。与初日行分加减，倍之，以前段前一日与后段相距日数除之之为日差。以加减初日行分，为日行分。五星各置前段经度，以逐日行分顺加退减之，为各星逐日经度。
求伏见 视各星自行定度，在伏见立成内限度已上者，即五星晨夕伏见也。
五星纬度
求自行定度 置自行宫度分，其宫以一十乘为度。其度以二十乘之为分，满六十约之为度。其分亦以二十乘之为秒，满六十约之属分。并之即得。
求小轮心定度 置小轮心宫度分，其宫以五乘之为度。其度以一十乘之为分，满六十约之迷度。其分亦以一十乘之为秒，满六十约之为分。并之即得。
求纬度 以小轮心定度及自行度，入本星纬度立成内两取，得数与后行相减。又以小轮心定立成上小轮心定相减，两减馀相乘，以立成上小轮心度累加数除之。满六十收之为分，用加减两取数，寄左。复以自行定度与立成上自行定度相减，又以两取数，与下行相减，两减馀相乘，以立成上自行度累加数除之，收之为分。与前寄左数相加减，即得黄道南北纬定分。
求纬度细行分 置其星前段纬度，与后段纬度相减，馀以相距日除之，为日差。置前段纬度，以日差顺加退减，即逐日纬度分。若前后段南北不同者，置其星前后段纬度并之，以相距日除之，为日差。置前段纬度，以日差累减之，至不及减者，於日差内减之，馀以日差累加之，即得逐日纬度。
推日食法
辨日食限视合朔太阴纬度，在黄道南四十五分已下，黄道北九十分已下，为人食。若合朔为尽，则全见食。若膈朔在日未出三时及日已入十五分，皆有带食。若合朔在夜刻者不算。
求食甚凡时即合朔。置午正太阴行过太阳度，通秒，以二十四乘之为实，置太阴日行度，减太阳日行度，通秒为法，除之为时。时下零数以六下通之为分，分下零数以六十通之为秒，三十秒已上收为一分，六十分收为一时，共为食甚凡时。
求各朔太阳经度 以食甚凡时通分，以太阳日行度通秒乘之，以二十四除之为秒，满六十约之为秒分，用加减午正太阳度，得合朔时太阳经度。
求加减分 视合朔时太阳宫度，入昼夜加减立成内，取加减分，依比例法求之。
求子正至合朔时分秒 置食甚凡时，以加减分分加减之，用加减十二时，即子正至合朔时分秒。
求第一东西差经差。视合朔时，太阳宫在立成右七宫取上行时，在左七宫取下行时，以子正至合朔时，取经差，依比例法求之。第一东西差。
求第二东西差 视合朔时，太阳宫在立成内，取次宫子正至合朔时经差，依比例法求之，为第二东西差。
求第一南北差以合朔时，太阳宫及子正，至合朔时入立成内，取纬差，依比例法求之，为第一南北差。
求第二南北差 以合朔太阳宫，取次宫子正至合朔时纬差，依比例法求之，为第二南北差。
求第二时差 以膈朔太阳宫及子正至膈朔时，入立成取时差，依比例法求之。
第二时差 公合朔太阳宫，取次宫子正至合朔时时差差，依比例法求之。
求合朔时东西差 以第一东西差与第二东西差相减，馀通秒，以乘合朔时太阳度分，以三十度除之为纤，以六十收之为微、为秒、为分、经加减第一东西差，为合朔时东西差。
求合朔时南北差 以第一南北差与第南北差相减，馀通秒，以乘太阳度分，以三十除之为纤，依率收之为微、秒、分，以加减第一南北差，为各朔时南北差。
求合朔时差 以第一第二两时差相减，乘太阳度分，以三十除之，依率帐之，用加减第一时差，为合朔时差。
求合朔时本轮行度 以本轮日行度通分，以乘食甚凡时，以二十四除之为秒，依率收之为分、为度，以加减午正本轮行度，为合朔时行度。
求比敷分 以本轮行度入立成，取同宫近度太阴比敷分，依比例法求之。
求东西定差 置合朔时东西差通秒，以比敷分通秒乘之为纤以六十收之为微、为秒、为分，以加合朔东西差，为定差。
求南北定差 法同东西定差。
求食甚定时视其日合朔时，太阳度在立成左七宫，其时差，黑字减，白字加，在右七宫，白字减，黑字加，皆加减於子正至合朔时，得数命起正减之，得某时初正。馀通为秒，以一千乘之，以一百四下四除之，以六十约之，满百为刻，即食甚定时。
求食甚太阴经度 於合朔太阳经度内，加减东西定差，即得食甚太阴经度。
求合朔计都度 置食甚凡时通分，以计都日行度通秒乘之，以二十四除之为微，满六十收之为秒、为分，以加减其日午时计都行度，为合朔时计都度。
求合朔太阴纬度 食甚时，太降经度内加减合朔时计都度，馀为计都与月相离度，入太阴纬度立成取之。
求食甚太阴纬度 南北定差内。加减合朔时太阴纬度，在黄道南加，北减。得食甚纬度。
求合朔时太阳自行度 用太阳日行度通秒，以乘食甚凡时，用二十四除之，得数为微，满六十收之为秒、为分，以加减其日午正自行度，得合朔自行度。
求太阳径分 以合朔太阳自行度为引数，入立成内同宫近度，取太阳径分，依比例法求之。
求太阴径分 以合朔时本轮行度为引数，入立成同上内取同宫近度太阴径分，依比例法求之。
求二半径分 并太阳、太阴雨径分，半之。
求太阳食限分 置二半径分，内减食甚太阴纬度，馀为太阳食限。
求太阳食甚定分 以太阳食限分通秒，以一千乘之为实，以太阳径分通秒为法除之，以百约之为分，为太阳食甚定分。
求时差食甚太阴纬度通秒自乘，二半径分亦通秒自乘，两自乘数相减，馀以平方开之，以二十四乘之为实，以其日太阴日行度内减太阳日行度通分为法。实如法而一，得数为分，满六十分为一时，为时差。
求初亏 置食甚定时，内减时差，馀时命起子正减之，得初正时。馀分通秒，以一千乘之，以一百四十四除之，以六十约之，满百为刻，为初亏时刻。
求复圆 置食甚定时，内加时差，命起子正，如初亏法，得复圆时刻。
求初亏食甚圆方位与《大统》法同。
推月食法
辨月食限 视望日太阴经度与罗喉或计都度相离二十三度之内，太阳纬度在一度八分之下，为有食。又视合望在太阴未出二量，未入二时，其限有带食。其在二时已上者不算。
求食甚凡时置其日太阴经度内减六宫，以减其日午正太阳度为午前望。置相减馀数相通秒，以二十四乘之为实，置其日太阴经度，内减前一日太阴经度，馀为太阳日行度。两日行度相减，馀通秒为法，除实得数为时。其时下馀数，以六十通之为分、秒，即所求食甚凡时。
求食甚月离黄道宫度 置食甚凡时，与太阳日行度俱通秒相乘，以二十四除之，得数为纤潢六十收之为微、为秒、为分，以加减其日午正太阳度，为望时太阳度，加六宫，即得所求。
求昼夜加减差 以望时太阳宫度为引数，入昼夜加减立成内，取加减分，依比例法求之。
求食甚定时 置食甚凡时，以昼夜加减差法加减之。得数，用加减一十二时，命起子正，得初正时。其小馀，如法收为刻，法详日食。得定时。
求望时计都度 置食甚凡时，通秒为实，以计都日行度通秒乘之，以二十四除之，得数为纤以六十收之为微、为秒、为分，用加减其日午正计都行度，即得。
求望时太阴纬度 置食甚月离黄道度，内减望时计都度，馀为计都与月相离度，入太阴纬度立成取之。
求望时本轮行度置太阴本轮日行度，通分，以食甚凡时通秒乘之，以二十四除之为微，以六十收之为秒、为分、为度，用加减其日午正本轮行度，即得。
求太阴径分 以望时本轮行宫度，入影径分立成求之。
求太阴影径分 以望时本轮行宫度，放影径分立成，取之。
求望时太阳自行度 以太阳日行度与食甚凡时俱通秒相乘，以二十四除之，得数为纤，满六十收为微、为秒、为分，以减其日午正太阳自行度。
求影径减差 以其日太阳自行範度为引数，入影径立成内，於同宫近度取太阴影径差分，依比例法求之。
求影径定分 置太阴影径分，内减影径减差分。
求二半径分 置太阴径分，加影径定分，半之。
求太阴食限 置二半径分，内减望时太阴纬度。
求食甚定分 置食限分，通秒，以一千乘之为实，以太阴径分秒为法，除之，以百约之灾分，为食甚定分。
求太阴逐时行过太阳分 置太阴望时经度，减前一日太阴经度，又置望时太阳自行度，减前一日太阳自行度，以两馀数相减，为太阴昼夜行过太阳度。通秒以二十四除之，满六十收之，得逐时行过太阳分。
求时差 以太阴纬度分，通秒自乘，又以二半径分通秒自乘，两数相减，馀开平方为实，以太阴行过太阳度通秒为法除之，得数即时刻差。
求初亏复圆时刻 以时差减食甚定时，得初亏时刻。加食甚定时，得复圆时刻。其命时收刻之法，并同日食。
求食既至食甚时差 置二半径分，减太阴径分，通秒自乘，又置太阴纬度亦通秒自乘，相减，平方开之为实。以太阴逐时行过太阳度通秒为法除之，得数即时差。
求食既生光时刻 以食既至食甚时差，减食甚定时，为食既时刻。加食甚定时，为生光时刻。
求初亏食甚复圆方位 与《大统》法同。
求日出入时 以午正太阳经度为引数，入西域昼夜时立成，取其度分，依比例法求之，为未定分。又引於数相对宫度内，取其度分，亦依比例法求之，为后未定分。两未定分相减，不及减，馀通秒，用十五除之，六十收之为分、为时，得其日昼时分秒。半之为其日半昼时分秒。以半昼时分秒减十二时，馀为日出时分秒，加十二时为日入时分秒。
求日月出入带食分秒 视其日日出时分秒，较多於初亏时分秒，少於食甚定时及复时分秒者，即有带食。置其日日出时或日入时，与食甚定时分秒相减，馀为带食差。置日月食甚定分，以带食差通秒乘之，以时差通秒除之，得数为带食分。於食甚定分内减带食分，馀为日月带食所见之分。
求月食更点 置二十四时，内减昼时，又减晨昏时，馀不夜时，通秒五约之为更法。寺分更法为点法。如食在子正以前者，置初亏食甚复圆等时，内减日入时，又减半晨昏时，馀通就，以更法减之为更数。不满更法者，以点法减之为点数。食在子正已后者，置夜时半之，加初亏食甚复圆等时，以更法减之为更数。不满更法者，以点法减之为点数。皆命起初更、初点。
▲太阴五星凌犯
求太阴昼夜行度 以本日经度与次日经度相减，馀即本日昼夜行度。
求太阴晨昏刻度 置其日午太阴经度，内加立成其日昏刻加差，即为其日太阴昏刻经度。置其次日午正太阴经度，减立成其日晨刻减差，即为其日太阴晨刻经度。
求月出入度 置其日午正太阴经度，加立成内即前立成其日月入加差，即为其日月入时太阴经度。加立成内其日月出加差，即其日月出时太阴经度。
耱太阴所犯星座 朔后视昏刻度至月入度，望后视月出度至晨刻度，入黄道南北各像星立成内，经纬度相近在一度已下者，取之。
求时刻 置其日午正太阴经度，与取到各像星经度相减，通分，以二十四乘之，以太阴昼夜行度亦通分除之，得初正时。其小馀，以六十通之为分，以一竿千乘之，一百国十四除之，以百约之为刻，即得所求时刻。
求上下相离分 置太阴纬度与年犯星纬度相减，馀为上下相离分。若月星同在南，月多为下离。同在北，月多为上离，下为下离。若南北不同，月在北为上离，南为下离。
求五星凌犯各星相离 置其日五星经纬度，入黄道立成内，视各像内外星经纬度，在一度已下和取之。其五星纬度与各星纬度相减，馀即上下相离分。
求月犯五星，五星相犯 视太阴经纬度，五星经纬度相近在一度已下者，取之。